Neuling hat (Verständnis-?) Probleme mit Child Theme

Die Einstellungen, die du im Customizer vornimmst, werden Theme-bezogen gespeichert. Ein Child-Theme gilt dabei als eigenständiges Theme – du fängst also bei den Einstellungen wieder von vorne an. Alternativ kannst du zum Parent Theme wechseln (was deine bisherigen Einstellungen „reaktiviert“) und die Einstellungen mit dem Plugin Customizer Export/Import exportieren, dann zum Child-Theme zurückwechseln und dort importieren.

Ich weiß, dass häufig empfohlen wird, ein Child-Theme anzulegen. Damit soll verhindert werden, dass du Änderungen an einem Theme vornimmst, die beim nächsten Update des Themes überschrieben werden. Statt dessen legst du ein Theme an, das lediglich Ergänzungen zu einem Parent Theme enthält.
Wenn du nun z.B. den Footer ändern möchtest, ist es naheliegend, das Template footer.php des Parent-Theme in das Child-Theme zu kopieren und dann dort Änderungen vorzunehmen. Stellen wir uns aber mal vor, das Template hätte eine schwerwiegende Sicherheitslücke, die erst bekannt wird, nachdem du dein Child-Theme erstellt hast. Selbst wenn nun die Sicherheitslücke durch ein Update des Parent-Theme geschlossen wird, verwendest du weiterhin die Kopie der älteren Version – samt Sicherheitslücke. Du musst also bei Verwendung eines Child-Theme jedesmal prüfen, ob Updates des Parent-Theme Auswirkungen auf deinen Code haben (was von Torsten Landsiedel als „Child Theme Dilemma“ beschrieben wurde).

Oft ist es so, dass lediglich eine Funktion hinzugefügt oder die Gestaltung geringfügig angepasst werden soll. Für eigene Funktionen kannst du statt eines Child-Theme das Plugin Code Snippets verwenden, das den Code nicht nur einbindet, sondern auch in übersichtlichen Häppchen leichter verwalten lässt. Änderungen am Stylesheet kannst du direkt im Customizer unter Zusätzliches CSS eintragen. Erst wenn du tatsächlich die Struktur einer Webseite ändern musst und das nicht mit einer PHP-Version umgesetzt werden kann, ist ein Child-Theme wirklich sinnvoll.

Wenn du eigene CSS-Regeln hinzufügst und feststellst, dass sie nicht greifen, sind entweder die Regeln fehlerhaft oder nicht spezifisch genug. Verwendest du z.B. eine CSS-Regel p { color: blue; } um Absätze in Blau auszugeben, aber das (Parent-)Theme hat eine spezifischere CSS-Regel .entry-content p { color: green; }, wird deine CSS-Regel einfach übergangen.

Noch besser ist es natürlich, wenn du ein Theme hast, dass dir viele Einstellungsmöglichkeiten im Customizer anbietet und bei dem du gar nichts programmieren brauchst.

Leider sprengt es ein wenig den Rahmen, hier Grundkenntnisse in HTML, PHP, JavaScript und CSS zu vermitteln, aber bei ganz konkreten Fragen werfen wir gerne mal einen Blick drauf. Oft lässt sich mit den Entwicklertools des Browsers recht schnell herausfinden, wo das Problem liegt. Das habe ich bei deiner Seite noch nicht geprüft, weil mit dazu ein konkreter Hinweis fehlt, was ich mir anschauen soll.

gibt es da eine andere Hierachie, als wenn der Code im style.css steht (es ist ja der identische Code)?

Was du im Customizer im Feld „Zusätzliches CSS“ einträgst wird als letztes geladen und überschreibt daher Regeln für gleichnamige Selektoren. Gibst du z.B. p { color: blue; } an und das Theme verwendet p { color: red; }, wird der Text in Blau ausgegeben, weil deine Regel (als letztes geladen) die andere Regel überschreibt. Verwendet das Theme aber .entry-content p { color: red; } wird (trotz deiner nachträglich geladenen CSS-Regel) die spezifischere Regel des Themes verwendet (vgl. Spezifität).

Subeinträge sollen erst beim Hoovern oder besser beim Anklicken ‚ausgeklappt‘ werden -und- die Einträge, die Sub-Einträge enthalten, sollen ausser dem Ausklappen der Liste mit Untereinträgen keine Klick-Events haben (also keine Seite öffnen).

Das lässt sich alles ohne Child-Theme hinbekommen.

Du kannst in Menüs „Platzhalter“ als Menüeinträge hinzufügen, indem du einen „individuellen Link“ mit der URL # einfügst und dem Platzhalter einen Namen gibst (z.B. „Fotos“ als Platzhalter für ein Menü mit lauter Foto-Links). Sobald der Menüeintrag im Menü ist, kannst du das #-Zeichen wieder löschen. Ich nehme an, das ist was du mit „Einträge, die Sub-Einträge enthalten, sollen ausser dem Ausklappen der Liste mit Untereinträgen keine Klick-Events haben (also keine Seite öffnen)“ meinst?
Das Unterseiten erst bei Hover eingeblendet werden, ist nicht viel mehr als ein wenig CSS. Du findest hier z.B. ein paar nette Beispiele:

https://codepen.io/maheshambure21/pen/QwXaRw