Oha, da ist scheinbar länger nichts mehr gemacht worden. 🙂
Immerhin ist PHP 7 schon mal eine gute Voraussetzung. Schau bei der Gelegenheit auch gleich mal nach, wieviel Arbeitsspeicher im Kundenmenü ausgewählt wurden. 256MB sind heute fast schon Standard, 128MB geht bei einer Website mit wenig Plugins vermutlich auch, in älteren Verträgen enthaltene 32MB dürften Probleme bereiten.
Ich würde dann vor allem erst einmal ein Backup von allen Dateien und auch von der Datenbank (wichtig!) erstellen und auf dem PC ablegen.
Als nächstes kannst du dann alle Plugins vorübergehend deaktivieren und wenn möglich ein Standard-Theme (Twenty …) auswählen.
Wenn du Zugriff auf die Dateien hast (per FTP-Programm oder über das Dateiverwaltungsmenü deines Webhoster), kannst du zuerst versuchen, ob eine automatische Aktualisierung tatsächlich klappt.
Wenn alles gut geht, wirst du am Ende des Vorgangs gefragt, ob du auch die Datenbank aktualisieren möchtest, was du mit OK bestätigst. Wenn die Website jetzt noch läuft, kannst du wieder die Plugins einzeln aktivieren und dein bisher genutztes Theme auswählen. Auch hier dürften dann ja noch einige Aktualisierungen ausstehen.
Wenn die automatische Aktualisierung nicht sauber durchläuft, kannst du ein manuelles Update durchführen. Wie das geht, habe ich hier im Forum schon öfters beschrieben; du kannst das auch hier durchlesen, wenn du nicht lange suchen möchtest: https://pixolin.de/alte-wordpress-installation-manuell-aktualisieren/
Wenn auch das nicht klappt, kannst du immerhin dein Backup wiederherstellen. Dann müsste sich jemand das nochmal sehr genau anschauen.
Regelmäßige Updates sind wichtig, weil dadurch Sicherheitslücken entfernt werden. Ohne Updates gefährdest du die Sicherheit für dich und die Besucher deiner Website. Das kann sehr unangenehme (und kostspielige) Folgen haben. Neuere WordPress-Versionen aktualisieren deshalb zumindest Zwischenversionen automatisch; das wurde aber erst mit WordPress 3.7 eingeführt.
