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Es kann auch sein, dass die Startseite im Theme nicht front-page.php heisst, sondern home.php. Also falls es eine home.php gibt, die auch mal deaktivieren.

Also das auf der Startseite ist eine – vorsichtig ausgedrückt – etwas aus der Zeit gekommene Iframe Website aber kein WordPress 😉
Der WordPress Blog scheint unter http://trostteddy.de/blog/blog/ installiert zu sein. Aber auch da stimmt was nicht. Ich würde eine saubere Neuinstallation mit einem zeitgemäßen Theme vorschlagen. Über kurz oder lang wirst du darum sowieso nicht herumkommen, wenn du möchtest, dass die Leute auf der Website bleiben und sich näher umschauen. So sieht das alles doch etwas sehr handgestrickt aus.

Das liegt am Theme bzw. ist eine Sache, die im Stylesheet geregelt wird. Die Links in der Sidebar sind als ungeordnete Liste ul definiert. Unterpunkte einer ul haben automatisch einen list-style (den Punkt) zugewiesen, es sei denn dieser wird in der CSS Datei außer Kraft gesetzt. Also irgendwas in die Richtung
.sidebar ul li { list-style: none; }

Eine genaue Angabe kann man aber nur machen, wenn du einen Link zu deiner Seite postest, damit man sehen kann welche css Klassen in deiner Sidebar tatsächlich vorhanden sind.

Meine Seiten laufen auch mit PHP5.5.9 ohne Probleme. Bei einer weissen Seite würde ich zuerst auf einen Pluginfehler tippen. Wie siehts aus, wenn alle Plugins deaktiviert sind?

Einfachste Variante wäre, den neuen Domainnamen auf die bestehende WordPressinstallation zu mappen, dann kann die Seite unter beiden Domainnamen aufgerufen werden. Die Deeplinks sind dann allerdings wieder unter dem ursprünglichen Domainnamen, was aber in Bezug auf duplicate content bei google auch besser ist.

Wenn es wirklich zwei getrennte Seiten sein sollen mit 1:1 gleichen Inhalten, dann unter der neuen Domain eine neue WordPressinstallation machen. Bei der alten Seite Werkzeuge => exportieren alle Inhalte exportieren und bei der neuen Seite Werkzeuge => importieren alle Inhalte importieren

Weitere Möglichkeit, Datenbenk importieren und Site/Wordpress URL ändern. Das ist dann ein kleines bisschen aufwändiger aber auch nicht sooo schwer.

Es kann sein, dass du den Eigentümer des Ordners ändern musst. Wenn du WordPress per ftp installiert hast, dann ist der Eigentümer der FTP User. Automatische Updates laufen aber meist über den PHP User der aber nicht Eigentümer ist und dem somit die Berechtigungen fehlen. Solche Permission Probleme kann man umgehen, wenn man PHP als CGI laufen lässt. Je nachdem, ob dein Hoster dies zulässt würde ich versuchen, PHP als CGI laufen zu lassen (kann man oft über die .htaccess regeln) oder aber beim Hoster nachzuschauen ob du über web-ftp oder ähnliches die Möglichkeit hast, den Eigentümer für die Ordner zu ändern.