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Hat Dein Account die entsprechenden Berechtigungen? Falls ja, gibt es Fehlermeldungen im Error-Log der Website?

Bricht der Upload immer nach der gleichen Zeit ab? Das würde auf einen Timeout hindeuten. Der muss nicht unbedingt PHP-seitig sein, auch Webserver haben Timeouts (verwendest du Apache oder nginx?), laut des Logfiles scheint es aber am Client zu liegen (könnte also an Deinem Browser liegen – evtl. probierst Du mal einen anderen Browser, an Deiner Firewall, am Router, etc.).

Verwendet das WordPress die korrekte Datenbank? Prüf‘ das bitte mal in der wp-config.php.

Hat jemand Ideen wo ich die Videos speichern kann? Direkt auf meinem Webspace macht ja irgendwann vermutlich die Seite lahm.

Da es sich vermutlich um statische Inhalte handelt, sollte das Abspielen der Videos keine große Last erzeugen. Wichtiger ist hier vermutlich, dass Dein Hosting ausreichend Speicherplatz bietet und dass Dein Hosting eine ausreichend große Anbindung hat (würde mind. 1Gbit/s vorschlagen, wenn Du viele Besucher hast, sogar 10Gbit/s), denn wenn viele Besucher gleichzeitig zugreifen, darf natürlich die Netzwerkverbindung des Servers nicht ausgelastet werden. Außerdem solltest Du darauf achten, wieviel Traffic inklusive ist, denn das Streamen von Videos verursacht viel Traffic.

Du solltest Dir auch die AGB der Hoster anschauen – bei vielen Hostern wirst Du in einem Shared Hosting gar kein Videostreaming betreiben dürfen, da das die Nachbarn zu sehr beeinträchtigen würde, wenn Du alleine die Netzwerkanbindung auslastest. Da würdest Du dann vermutlich direkt einen eigenen dedizierten Server benötigen, so dass Du keinen der anderen Kunden des Hosters beeinträchtigst. Bei vielen Serverangeboten ist auch schon ein Traffickontingent vorhanden, manchmal ist es sogar unlimitiert. Eine Cloud wäre auch eine Möglichkeit, ist aber mit entsprechend höheren Kosten verbunden, vor allem wirst Du auch den Traffic bezahlen müssen, und der läßt sich vorher schlecht abschätzen.

Stammen die 13 statischen Inhalte denn von Deiner Domain oder sind es externe Ressourcen? Wenn es externe Ressourcen sind, hast Du auf die Expires-Header keinen Einfluss.